Wyznacz kąty wewnętrzne trójkąta $ABC$, mając $b=2\,\mathrm{cm}$, $a=1{,}7\,\mathrm{cm}$ i $\alpha=30^\circ$. (Zakładamy, że kąty oznaczone przez $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ leżą kolejno naprzeciw boków $a$, $b$, $c$).
Rozwiązanie studenta Petera:.
(1) Peter skorzystał z prawa sinusów: $$\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}$$
(2) Podstawił podane wartości i otrzymał: $$\frac{\sin\beta}{2}=\frac{\sin 30^\circ}{1{,}7}$$
(3) Ponieważ $\sin 30^\circ=\frac12$, otrzymał: $$\sin\beta=\frac{10}{17}$$
(4) Korzystając z kalkulatora, stwierdził, że równanie $\sin\beta=\frac{10}{17}$ ma jedno rozwiązanie, a jest to: $$\beta=36^\circ$$
(5) Następnie obliczył pozostały kąt wewnętrzny trójkąta: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \implies \gamma=180^\circ - 30^\circ-36^\circ=114^\circ$$
(6) W końcu wypisał wszystkie kąty wewnętrzne trójkąta $ABC$: $$\alpha=30^\circ,\, \beta=36^\circ,\, \gamma=114^\circ$$
**W jednym z kroków Peter popełnił błąd. Znajdź błąd.
Błąd tkwi w kroku (4). Kąt $\beta=36^\circ$ nie jest jedynym rozwiązaniem równania $\sin\beta=\frac{10}{17}$. Kąt rozwarty $\beta=144^\circ$ również pasuje do specyfikacji. Tzn. dwa trójkąty pasują do zadania. Jeden ma kąty wewnętrzne $\alpha=30^\circ$, $\beta=36^\circ$, $\gamma=114^\circ$, drugi ma kąty wewnętrzne $\alpha=30^\circ$, $\beta=144^\circ$, $\gamma=6^\circ$.
Błąd jest w kroku (1). Prawo sinusów nie jest zapisane poprawnie.
Błąd tkwi w kroku (3). Prawidłowo powinno być, że $\sin\beta= \frac{\sqrt3}{1{,}7}$.
Błąd tkwi w kroku (3). Przyjmuje że $\sin\beta=\frac{10}{17}\cdot\frac14=\frac{5}{34}$.
Błąd tkwi w kroku (4). Kąt $\beta=36^\circ$ nie jest jedynym rozwiązaniem równania $\sin\beta=\frac{10}{17}$. Kąt rozwarty $\beta=144^\circ$ również pasuje do specyfikacji. Tzn. dwa trójkąty pasują do zadania. Jeden ma kąty wewnętrzne $\alpha=30^\circ$, $\beta=36^\circ$, $\gamma=114^\circ$, drugi ma kąty wewnętrzne $\alpha=30^\circ$, $\beta=144^\circ$, $\gamma=6^\circ$.