$\frac12=-\frac12$

A continuación se muestra una secuencia de igualdades que conducen a la afirmación $\frac12=-\frac12$, que obviamente es falsa. Una de estas igualdades es incorrecta. $$\frac12=\sin30^\circ\stackrel{(1)}=-\sin210^\circ\stackrel{(2)}=\sin150^\circ\stackrel{(3)}=-\cos120^\circ\stackrel{(4)}=\cos\left(-120^\circ\right)\stackrel{(5)}=-\cos60^\circ=-\frac12$$ El profesor pidió a los alumnos que justificaran la validez de cada paso. He aquí sus comentarios:

Alice: Se cumple la igualdad (1). Para todo número real $x$, $\sin ⁡x=-\sin\left(x+180^\circ\right)$. Por tanto, los ángulos $30^\circ$ (del 1er cuadrante) y $210^\circ$ (del 3er cuadrante) tienen valores de seno opuestos.

Ben: Se cumple la igualdad (2). Para todo número real $x$, $\sin⁡\left(180^\circ+x\right)=-\sin\left(180^\circ-x\right)$. Por tanto, los ángulos $210^\circ$ (del 3º cuadrante) y $150^\circ$ (del 2º cuadrante) tienen valores opuestos de la función seno.

Daniel: La igualdad (3) se cumple.

• Para todo número real $x$, $\sin x=\cos\left(x-90^\circ\right)$. Por lo tanto, $\sin150^\circ=\cos⁡60^\circ$.
• Para todo número real $x$, $\cos ⁡x=-\cos\left(180^\circ-x\right)$. Por lo tanto, los ángulos $60^\circ$ (del 1er cuadrante) y $120^\circ$ (del 2do cuadrante) tienen valores de coseno opuestos, es decir, $\cos 60^\circ=-\cos⁡120^\circ$.

Elena: Se cumple la igualdad (4). Para todo número real $x$, se cumple lo siguiente: $-\cos ⁡x=\cos⁡\left(-x\right)$. Por lo tanto, $-\cos120^\circ=\cos\left(-120^0\right)$.

Filip: La igualdad (5) se cumple.

• La función coseno es periódica con un período de $360^\circ$. Por lo tanto, $\cos\left(-120^\circ\right)=\cos⁡240^\circ$.
• Para todo número real $x$, $\cos x=-\cos\left(180^\circ+x\right)$. Por lo tanto, los ángulos $60^\circ$ (del 1er cuadrante) y $240^\circ$ (del 3er cuadrante) tienen valores de coseno opuestos, es decir, $\cos 240^\circ=-\cos 60^\circ$.

¿Quién no tiene razón?