$\frac{1+\cos ⁡15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos⁡ 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos⁡ 15^{\circ}}$

Project ID: 
3000000065
SubArea: 
Seno, coseno, tangente, cotangente
Question: 

Dolores intentó calcular el valor de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $$\frac{1+\cos ⁡15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos⁡ 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos⁡ 15^{\circ}}$$
Resolvió esta tarea mediante los siguientes pasos: \begin{aligned} &\frac{1+\cos ⁡15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos⁡ 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos⁡ 15^{\circ}}\stackrel{(1)}=\cr \stackrel{(1)}=&\frac{(1-\sin^2 15^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 \,37^{\circ}\,30^{'}-\cos^2 \,37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos⁡15^{\circ}}\stackrel{(2)}=\cr \stackrel{(2)}=&\frac{\cos^2 15^{\circ}-\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡ 15^{\circ}}\stackrel{(3)}=\cr \stackrel{(3)}=&\cos⁡15^{\circ}-\cos⁡ 75^{\circ}\stackrel{(4)}=\cr \stackrel{(4)}=&-2 \sin⁡45^{\circ}\sin⁡30^{\circ}\stackrel{(5)}=\cr \stackrel{(5)}=&-2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=-\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} ¿En qué fase de su solución cometió Dolores un error?

Answer 1: 

El error está en el paso (2). La simplificación correcta debería ser: $$ \frac{(1-\sin^215^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos15^{\circ}}=\frac{\cos^215^{\circ}+\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡15^{\circ}}. $$

Answer 2: 

El error está en el paso (3). La igualdad $$\frac{\cos^215^{\circ}-\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡15^{\circ}}=\cos⁡15^{\circ}-\cos⁡75^{\circ}$$ no se cumple para $\cos⁡15^{\circ}=0$. La fracción no se puede simplificar sin tener en cuenta esta condición.

Answer 3: 

El error está en el paso (4). Ha utilizado una expresión trigonométrica incorrecta. La modificación correcta debería ser: \begin{aligned} \cos⁡15^{\circ}-\cos⁡75^{\circ}&=-2\sin\frac{15^{\circ}+75^{\circ}}{2}\sin⁡\frac{15^{\circ}-75^{\circ}}{2}\cr &=-2\sin⁡45^{\circ}\sin⁡(-30^{\circ})=2\sin⁡45^{\circ}\sin⁡30^{\circ} \end{aligned}

Answer 4: 

El error está en el paso (4). Ha utilizado una expresión trigonométrica incorrecta. La modificación correcta debería ser: \begin{aligned} \cos⁡15^{\circ}-\cos⁡75^{\circ}&=2\sin\frac{15^{\circ}+75^{\circ}}{2}\cos⁡\frac{15^{\circ}-75^{\circ}}{2}=\cr &=2\sin⁡45^{\circ}\cos⁡(-30^{\circ})=2\sin⁡45^{\circ}\cos⁡30^{\circ} \end{aligned}

Answer 5: 

El error está en el paso (5). La simplificación correcta debería ser: $$-2\sin⁡45^{\circ}\sin⁡30^{\circ}=-2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt6}{2}$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 3
Hint: 

Dolores cometió un error en el paso (4). Debería haber utilizado la expresión trigonométrica suma-producto correcta: $$\cos\alpha-\cos \beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$ La solución correcta es: \begin{aligned} &\frac{1+\cos ⁡15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos⁡ 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos⁡ 15^{\circ}}=\cr =&\frac{(1-\sin^2 15^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 \,37^{\circ}\,30^{'}-cos^2 \,37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos⁡15^{\circ}}=\cr =&\frac{\cos^2 15^{\circ}-\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡ 15^{\circ}} =\cos⁡15^{\circ}-\cos⁡ 75^{\circ}=\cr =&-2 \sin⁡45^{\circ}\sin⁡\left(-30^{\circ}\right)=2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned}