Se pidió a Michaela, Gabriela y Susan que convirtieran el número decimal $$x=12.3\overline{45}$$ en una fracción.
Michaela resolvió el problema mediante los siguientes pasos:
(1) Primero, Michaela creó una segunda ecuación multiplicando la ecuación de $x$ por $1\,000$: $$\begin{aligned} x&=12.3\overline{45}\cr 1\,000x&=12\,345.\overline{45}\end{aligned}$$
(2) Luego, restó la primera ecuación a la segunda: $$1\,000x-x=12\,345.\overline{45}-12.3\overline{45}$$
(3) Después simplificó la ecuación anterior obteniendo una sin decimales: $$999x=12\,333$$
(4) Por último, Michaela expresó $x$ como una fracción:
$$x=\frac{12\,333}{999}=\frac{4\,111}{333}$$
Gabriela siguió estos pasos:
(1) Primero, creó dos ecuaciones. La primera multiplicando la ecuación $x=12.3\overline{45}$ por $10$: $$10x=123.\overline{45}.$$ Y la segunda multiplicando la ecuación $x=12.3\overline{45}$ por $1\,000$: $$1\,000x=12\,345.\overline{45}.$$
(2) Luego, Gabriela restó la primera ecuación a la segunda: $$1\,000x-10x=12\,345.\overline{45}-123.\overline{45}$$
(3) Simplificando la ecuación, obtuvo una sin decimales: $$990x=12\,222$$
(4) Expresó $x$ como una fracción: $$x=\frac{12\,222}{990}=\frac{679}{55}$$
Susan resolvió como sigue:
(1) También creó dos ecuaciones. La primera multiplicando la ecuación $x=12.3\overline{45}$ por $10$: $$10x=123.\overline{45}.$$ Y la segunda multiplicando la ecuación $x=12.3\overline{45}$ por $100$: $$100x=1\,234.\overline{54}.$$
(2) Después, restó la primera ecuación a la segunda: $$100x-10x=1\,234.\overline{54}-123.\overline{45}$$
(3) Luego simplificó la anterior ecuación y obtuvo una sin decimales: $$90x=1\,111.09$$
(4) De la última ecuación, expresó $x$ como una fracción: $$x=\frac{1\,111.09}{90}=\frac{111\,109}{9\,000}$$
¿Cuál de ellas resolvió el problema correctamente?
Michaela
Gabriela
Susan
Ninguna
Todas
Para convertir un número decimal periódico $x$ en una fracción, necesitamos determinar dos múltiplos de $x$ tales que los dígitos de la parte decimal en ambos múltiplos sean iguales. Michaela y Susan no siguieron el procedimiento recomendado.
Michaela cometió un error en el paso (3) cuando restó los números $12\,345.\overline{45}$ y $12.3\overline{45}$. La diferencia $12\,345.\overline{45}-12.3\overline{45}$ no es un número con parte decimal finita y, por tanto, no puede usarse para convertir $x$ en una fracción.
Susan cometió un error en el paso (1) al multiplicar la ecuación $x=12.3\overline{45}$ por $100$. Incluso aunque Susan hubiera calculado correctamente $100x$, la diferencia entre $100x$ y $10x$ seguiría siendo un número decimal periódico y, por tanto, tampoco podría ser usado para convertir $x$ en una fracción.