Anna, Tom y Peter resolvieron la siguiente tarea:
Los tres términos consecutivos de una progresión aritmética $(a_n )$ son: $$x,~y-4~,y$$ La suma de estos términos es igual a $6$. Calcula dichos términos de la progresión.
Tom utilizó la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética $$ S_n=\frac{n}{2} (a_1+a_n ) $$ donde $n$ es el número de términos sumados, $a_1$ es el primer término y $a_n$ es el último término de la suma. También sabía que si $x$, $y-4$, $y$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, entonces $$ y-4=\frac{x+y}{2} $$ luego resolvió el sistema de ecuaciones: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (x+y) \cr 2y-8=x+y \end{gather} $$ Obtuvo los siguientes resultados: $x=2$ y $y=4$. Los términos buscados de la progresión son $$ 2,~0,~4 $$
Peter observó que el tercer término de la progresión dada es $4$ veces mayor que el segundo, lo que significa que la diferencia común de la progresión es $d=4$.
Expresó el primer término de la progresión: $$ x=y-4-4 $$ y luego usó la fórmula de la suma de una progresión aritmética $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$ donde $n$ es el número de términos sumados, $a_1$ es el primer término de la progresión y $d$ es la diferencia común de la progresión.
Continuó de la siguiente manera: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (2(y-8)+2 \cdot 4) \cr y=6 \end{gather} $$ Los términos buscados de la progresión son: $$ -2,~2,~6 $$
Anna razonó de la siguiente forma:
$$
\begin{gather}
x+y-4+y=6 \cr
x=10-2y
\end{gather}
$$
Si se trata de una progresión aritmética, entonces debe cumplirse:
$$
\frac{y-4}{x}=\frac{y}{y-4}
$$
Sustituyó $x$ por $10-2y$ en la ecuación anterior y eliminó las fracciones:
$$y^2-8=(10-2y)y$$
Por último, transformó la ecuación obtenida en la forma estándar de una función cuadrática y la resolvió:
$$
\begin{gather}
3y^2-10y-8=0 \cr
y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{10^2-4 \cdot 3 \cdot (-8) }}{6} \cr
y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{196}}{6} \cr
y_1=4 \mathrm{~and~} y_2=-\frac{2}{3}
\end{gather}
$$
Para $y=4$, los términos de la progresión son $2,~0,~4$.
Para $y=-\frac{2}{3}$, los términos de la progresión son $\frac{34}{3},~-\frac{14}{3},~-\frac{2}{3}$.
¿Cuál de ellos procedió correctamente en la resolución?
Peter.
Tom.
Anna.
Ninguno de ellos.
La suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética se pude calcular mediante una de las dos fórmulas: $$ S_n=\frac{n}{2} (a_1+a_n ) $$ o $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$ donde $n$ es el número de términos sumados, $a_1$ es el primer término, $a_n$ es el último término sumado de la progresión y $d$ es la diferencia común de la progresión. Sustituyendo $$ a_n=a_1+(n-1)d $$ obtenemos la segunda fórmula a partir de la primera.