Olga y Eugene resolvieron el mismo problema. Tenían que hallar la forma binómica del número complejo $$\frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}.$$
¿Quién ha cometido un error y en qué paso?
Resolución de Olga: $$ \begin{aligned} \frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}} &\stackrel{(1)}= \frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)}= \cr &\stackrel{(2)}= \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{11\pi}{6}\right)+ \mathrm{i}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{11\pi}{6}\right)\right]=\cr &\stackrel{(3)}= \frac{1}{2}\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+ \mathrm{i}\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right] =\cr&\stackrel{(4)}= \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\cr& \stackrel{(5)}= -\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac14\mathrm{i} \end{aligned} $$
Resolución de Eugene: $$ \begin{aligned} \frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}} &\stackrel{(1)}= \frac{-\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}= \cr &\stackrel{(2)}= \frac{\left(-\frac12+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)(\sqrt3 +\mathrm{i})}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})(\sqrt{3}+\mathrm{i})}=\cr &\stackrel{(3)}= \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac12\mathrm{i} + \frac32\mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{4}=\cr&\stackrel{(4)}= \frac{-\sqrt{3}+\mathrm{i}}{4}=\cr& \stackrel{(5)}= -\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac14\mathrm{i} \end{aligned} $$
Olga, en el paso (1). Es un error convertir el numerador en la forma trigonométrica. Por el contrario, todo debería ser expresado en la forma binómica como hizo Eugene.
Eugene, en el paso (1). Es un error convertir el numerador en la forma binómica. Por el contrario, todo debería ser expresado en la forma trigonométrica como hizo Olga.
Olga, en el paso (4). La simplificación correcta es: $$\frac{1}{2}\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+ \mathrm{i}\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$$
Eugene, en el paso (4). La simplificación correcta es: $$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac12\mathrm{i} + \frac32\mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{4}=-\frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{4}$$
La resolución de Olga con el error corregido:
$$ \begin{aligned} \frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}} &\stackrel{(1)}= \frac{\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}}{2\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)}= \cr &\stackrel{(2)}= \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{11\pi}{6}\right)+ \mathrm{i}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{11\pi}{6}\right)\right]=\cr &\stackrel{(3)}= \frac{1}{2}\left[\cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right)+ \mathrm{i}\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)\right] =\cr&\stackrel{(4)}= \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\cr& \stackrel{(5)}= -\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac14\mathrm{i} \end{aligned} $$