Halla el ángulo entre las rectas $p$ y $q$, donde $$p\colon y=2x-1\ \mbox{ y }\ q\colon 3x+7y-4=0.$$
La solución de Miguel:
(1) La forma general de la ecuación de la recta $p$ es $$2x-y-1=0.$$
(2) Los vectores normales de ambas rectas son: $$\overrightarrow{n}_p=(2;-1), \ \overrightarrow{n}_q=(3;7).$$
(3) El ángulo entre las rectas $p$ y $q$ se calcula mediante la fórmula $$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$
(4) Después de sustituir en la fórmula obtenemos: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{-1}{\sqrt{290}}.$$
(5) $\varphi=\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{290}}\right)\cong 93^\circ\, 22´$ (usando la calculadora).
La solución de Miguel es incorrecta. ¿Dónde cometió Miguel el error?
El error está en el paso (2). Los vectores normales de ambas rectas son: $$\overrightarrow{n}_p=(1;2), \ \overrightarrow{n}_q=(7;-3).$$
El error está en el paso (3). El ángulo entre las líneas $p$ y $q$ se calcula mediante la fórmula $$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$
El error está en el paso (4). Por sustitución obtenemos: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{|2^2+(-1)^2|\cdot|3^2+7^2|}=\frac{-1}{5\cdot58}=\frac{-1}{290}.$$
El error está en el paso (5). El valor del ángulo está calculado incorrectamente en la calculadora. La solución correcta es: $\varphi\cong 3^\circ\, 22´$.
$$\begin{aligned} &\overrightarrow{n}_p=(2;-1)\mbox{,}\qquad\overrightarrow{n}_q=(3;7)\cr &\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}=\frac{|2\cdot3+(-1)\cdot7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{1}{\sqrt{290}}\implies\varphi\cong86^\circ\, 38´\textrm{.} \end{aligned}$$