Slovní úloha

Studenti řešili tuto úlohu:

Hladina intenzity zvuku (hlasitost) $y$ se měří v logaritmické stupnici pomocí jednotky decibel ($\mathrm{dB}$) a je určena vztahem: $$ y=10\log\frac{x}{x_0} $$ kde $x$ je intenzita zvuku (v jednotkách $W\cdot m^{-2}$) a $x_0$ je nejslabší zvuk, který slyší lidské ucho $(x_0=10^{-12}\, W\cdot m^{-2})$.

Hlučnost pračky při praní dosahuje asi $50$ decibelů, ale při odstředění je to až $75$ decibelů.

Kolikrát je zvuk pračky při odstředění intenzivnější než zvuk při praní?

Alice: To je velice jednoduchá úloha. Intenzita zvuku při odstředění je $1{,}5$ krát vyšší protože: $$ \frac{75}{50}=\frac32=1{,}5 $$

Bob: K výpočtu musíme dosadit do uvedeného vztahu: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Ve zlomku zkrátíme číslo $10$ a využijeme známého pravidla, které nám říká, že podíl logaritmů je roven rozdílu logaritmů. Za $x_0$ dosadíme číslo $1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\log 75- \log 50=0{,}176 $$

Zvuk při odstředění je tedy přibližně o $18\%$ intenzivnější než zvuk při praní.

Cecílie: K výpočtu musíme dosadit do uvedeného vztahu: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}} $$ Ve zlomku zkrátíme číslo $10$ a $x_0=1$: $$ \frac{y_2}{y_1}=\frac{10\log\frac{75}{x_0}}{10\log\frac{50}{x_0}}=\frac{\log75}{\log50}=1{,}104 $$ Zvuk při odstředění je tedy přibližně o $110\%$ intenzivnější než zvuk při praní. To znamená, že zvuk je více než dvakrát silnější.

David: K výpočtu musíme dosadit do uvedeného vztahu, kde proměnná $y$ odpovídá hladině zvuku v decibelech: $$ \begin{aligned} 50=10\log\frac{x_1}{x_0} \cr 5=\log\frac{x_1}{x_0} \cr 10^5=\frac{x_1}{x_0} \cr x_1=10^5\cdot x_0 \end{aligned} $$ Obdobně: $$ x_2=10^{7{,}5}\cdot x_0 $$ Takže: $$ \frac{x_2}{x_1}=\frac{10^{7{,}5}\cdot x_0}{10^{5}\cdot x_0}=\frac{10^{7{,}5}}{10^5}=10^{2{,}5} \doteq 316 $$

Proto je zvuk při odstředění přibližně $316$ krát intenzivnější než zvuk při praní.

Který ze studentů vyřešil úlohu správně?