Na obrázku jsou grafy dvou funkcí protínajících se ve dvou bodech. Jedná se o funkce $f(x)=k\cdot |x-m|+n$ a $g(x)=ax+b$. Určete souřadnice bodu $M$, ve kterém graf funkce $g$ protíná osu $y$.
Postup řešení:
(1) Z grafu funkce $f$ lze vyčíst, že prochází body $[3,2]$ a $[4,3]$, můžeme tedy určit $k=1$, $m=3$ a $n=2$. Tedy: $$ f(x)=|x-3|+2 $$
(2) Nyní lze najít souřadnice dvou bodů, v nichž se protínají grafy obou funkcí. Z obrázku je zřejmé, že jedním z těchto bodů je bod $[4,3]$ a že druhý průsečík má první souřadnici $1$. Druhou souřadnici lze dopočítat z rovnice funkce $f$: $$ f(1)=|1-3|+2=4 $$
Druhým průsečíkem je tedy bod $[1,4]$.
(3) Nyní potřebujeme určit hodnoty $a$ a $b$ v předpisu lineární funkce $g(x)=ax+b$. Konstanty $a$ a $b$ získáme vyřešením následující soustavy rovnic: $$ \begin{aligned} 3 & =a\cdot 4+b\cr 4 & =a\cdot 1+b \end{aligned} $$
Například můžeme osamostatnit $b$ z obou rovnic a získaná vyjádření položit sobě rovna. Z první rovnice je $b=3-4a$, ze druhé $b=4-a$.
Tedy: $$ \begin{aligned} 3-4a & =4-a \cr -4a+a & =4-3 \cr -3a & =1 \cr a & =-\frac13 \end{aligned} $$
Pak dosadíme získanou hodnotu $a$ do rovnice $b=4-a$: $$ b=4-\left(-\frac13\right)=\frac{13}{3} $$ To znamená, že předpis funkce $g$ je: $$ g(x)=-\frac13x+\frac{13}{3} $$
(4) Nakonec spočítáme druhou souřadnici bodu $M$. Lineární funkce $g$ protíná osu $y$ v bodě $M=[0,g(0)]=[0,\frac{13}{3}]$.
Je v uvedeném postupu chyba? Pokud ano, určete kde.
Ano. Chyba je v kroku (1). Je pravda, že z obrázku lze určit $m=3$ a $n=2$. Není ale pravda, že $k=1$. Funkce $f$ je na intervalu $(-\infty ,3\rangle$ klesající a na intervalu $\langle 3,+\infty )$ rostoucí. Hodnoty tedy musíme určit na každém intervalu zvlášť. Na intervalu $(-\infty ,3\rangle$, máme $k=-1$ a na intervalu $\langle 3,+\infty )$ je $k=1$.
Ano. Chyba je v kroku (2). Nelze dojít k závěru, že oba grafy procházejí bodem $[1,4]$. Dosazením $x=1$ do funkce $f$ získáme bod, který náleží funkci $f$ a ne funkce $g$.
Ano. Chyba je v kroku (3). Soustava rovnic je zapsána chybně, správně má být: $$ \begin{aligned} 4 & =a\cdot 3+b \cr 1 & =a\cdot 4+b \end{aligned} $$
Ano. Chyba je v kroku (4). Souřadnice bodu $M$ jsou $[\frac{13}3,0]$.
Ne. Celý postup je správný.
Protože funkce $$ f(x)=k\cdot |x-m|+n $$ je na intervalu $(-\infty ,3\rangle$ klesající a na intervalu $\langle 3,+\infty )$ rostoucí, je zřejmé, že $m=3$, tedy: $$ f(x)=k\cdot |x-3|+n. $$ Podmínka $f(3)=2$ dává $n=2$, t. j. $$ f(x)=k\cdot |x-3|+2. $$ Nakonec z $f(4)=3$ získáme $3=k+2$, proto $k=1$. Rovnicí funkce $f$ je tedy: $$ f(x)=|x-3|+2. $$
