Pečlivě si prostudujte jednotlivé kroky řešení exponenciální rovnice: $$ 6^{1+x}+6^{1+x}=12 $$
1) Nejdříve sečteme členy na levé straně rovnice: $$ 2 \cdot 6^{1+x}=12 $$
2) Poté levou i pravou stranu rovnice upravíme tak, abychom na obou stranách dostali mocniny se základem $12$: $$ 12^{1+x}=12^1 $$
3) Protože se základy na obou stranách rovnají, rovnají se tedy i exponenty: $$ 1+x=1 $$
4) Rovnost platí, právě když: $$ x=0 $$
Provedení zkoušky zde není nutné. Nicméně po dosazení vychází správnost rovnice.
Je v některém kroku chyba? Pokud ano, určete ve kterém.
Ano. Chyba je v kroku (1). Rovnost $6^{1+x}+6^{1+x}=2\cdot 6^{1+x}$ neplatí. Mělo vyjít: $$6^{1+x}+6^{1+x}=6^{2+2x}$$
Ano. Chyba je v kroku (2). Úprava levé strany rovnice $2\cdot 6^{1+x}=12^{1+x}$ je chybná.
Ano. Chyba je v kroku (3). Rovnost $12^{1+x}=12^1$ znamená $1+x=1$ nebo $1+x=0$. Protože případ, kdy $1+x=0$ se neuvažoval, nebyla nalezena všechna řešení.
Ne. Celý postup je v pořádku.
Správné řešení exponenciální rovnice: $$6^{1+x}+6^{1+x}=12$$
1) Sečteme výrazy na levé straně rovnice: $$ 2\cdot 6^{1+x}=12 $$
2) Vydělíme celou rovnici $2$ a upravíme obě strany rovnice na mocniny o stejném základu: $$ 6^{1+x}=6^1 $$
3) Protože se rovnají základy, exponenty se musí taktéž rovnat: $$ 1+x=1 $$
4) Rovnost platí, právě když: $$x=0$$
Poznámka: Protože jsme celou dobu používali ekvivalentní úpravy, není v tomto případě zkouška nutná.