$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $

Tři studenti, Lukáš, Magda a Marie byli zkoušeni. Jejich úkolem bylo vyřešit následující logaritmickou rovnici na tabuli: $$ \log_2⁡(2 x)+\log_2⁡x=\log_2⁡3 $$ Napřed všichni tři studenti určili podmínky, za kterých má rovnice smysl a stanovili definiční obor rovnice: $$ \begin{gather} 2x>0 \wedge x>0 \cr x\in(0;\infty) \end{gather} $$ Poté postupovali odlišně.

Lukáš:

Lukáš upravil levou stranu rovnice následovně: $$\log_2⁡(3 x)=\log_2⁡3$$ Poté konstatoval, že rovnost logaritmů o stejném základu znamená rovnost logaritmovaných výrazů. Tak získal následující lineární rovnici a tu vyřešil: $$ \begin{aligned} 3x & =3 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Nakonec zkontroloval, že číslo $1$ patří do definičního oboru a uvedl, že $x=1$ je řešením rovnice.

Magda:

Magda také upravila levou stranu rovnice: $$\log_2⁡(2 x^2)=\log_2⁡3$$ Také tvrdila, že rovnost logaritmů o stejném základu znamená rovnost logaritmovaných výrazů. Tak získala následující kvadratickou rovnici a tu vyřešila: $$ \begin{aligned} 2x^2 & =3 \cr x^2 & =\frac32 \cr x_1 & =-\sqrt{\frac32};x_2=\sqrt{\frac32} \end{aligned} $$ Potom zjistila, že číslo $-\sqrt{\frac32}$ nepatří do definičního oboru rovnice. Magda proto byla přesvědčena, že výsledek rovice je pouze $x=\sqrt{\frac32}$.

Marie:

Marie také upravila levou stranu rovnice pomocí pravidel pro počítání s logaritmy a rovnici zjednodušila. Napsala následující postup na tabuli: $$ \begin{aligned} \log_2⁡2 x^2 & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2 x & =\log_2⁡3 \cr 2 (\log_2⁡2+\log_2⁡x) & =\log_2⁡3 \cr 2 \log_2⁡2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2+2\log_2⁡x & =\log_2⁡3 \cr 2\log_2⁡x & =8 – 2 \cr \log_2⁡x & =3 \cr x & =8 \end{aligned} $$ Nakonec zkontrolovala, že číslo $8$ patří do definičního oboru rovnice a prohlásila, že $x=8$ je řešení rovnice.

Udělal někdo z nich chybu? Pokud ano, tak kdo?