$ \log_2(2x)-\log_2 8=1 $

Project ID: 
3000020098
SubArea: 
Logaritmické rovnice a nerovnice
Question: 

Jana dostala za úkol vyřešit logaritmickou rovnici: $$ \log_2(2x)-\log_2 8=1 $$ Vyřešila ji následujícím postupem:

(1) Nejdříve určila definiční obor logaritmu:: $$ \begin{aligned} 2x>0 \cr x \in (0;\infty) \end{aligned} $$

(2) Použitím vět o logaritmech, upravila levou stranu rovnice: $$ \log_2⁡2+\log_2⁡x-\log_2⁡2+\log_2⁡4=1 $$

(3) Poté zjednodušila levou stranu rovnice (odečetla výrazy $\log_2⁡2$): $$ \log_2⁡x+\log_2⁡4=1 $$

(4) Znovu upravila levou stranu rovnice podle vět o logaritmech: $$ \begin{aligned} \log_2⁡x+\log_2⁡2+\log_2⁡2=1 \cr \log_2⁡x+1+1=1 \cr \log_2⁡x=-1 \end{aligned} $$

(5) Rovnici upravila podle pravidla: $$ \log_a⁡x=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a získala: $$ \begin{aligned} x & =2^{-1} \cr x & =\frac12 \end{aligned} $$

(6) Zjistila, že výsledek patří do definičního oboru. Nakonec udělala zkoušku: $$ \begin{aligned} L & =\log_2⁡(2 \cdot \frac12)-\log_2⁡8=\log_2⁡ \frac18=-3 \cr P & =1 \cr L & \neq P \end{aligned} $$

(7) Protože zkouška nevyšla, Jana prohlásila, že rovnice nemá řešení.

Udělala Jana někde chybu? Pokud ano, určete kde:

Answer 1: 

Chyba je v kroku (1) v definičním oboru. Správně má být $2x\geq 0$.

Answer 2: 

Chyba je v kroku (2). Úprava levé strany rovnice je chybná.

Answer 3: 

Chyba je v kroku (4). Není pravda, že $\log_2⁡4=\log_2⁡2+ \log_2⁡2$ .

Answer 4: 

Chyba je v kroku (5). Správně má být: $$ \begin{aligned} log_2⁡x & =-1 \cr x & =2^{-1}\cr x & =-2 \end{aligned} $$

Answer 5: 

Chyba v řešení není.

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 2
Hint: 

Jana se dopustila chyby v kroku (2). Při úpravě zapomněla na závorky. Místo: $$ \log_2 2 + \log_2 x − \log_2 2 + \log_2 4 = 1 $$ mělo být $$ \log_2 2 + \log_2 x − (\log_2 2 + \log_2 4) = 1 $$ Zjednodušením předchozí rovnice získáme (Za předpokladu, že $\log_2 4 = 2$): $$\begin{gather} \log_2 x = 3 \cr x = 2^3 \cr x = 8 \end{gather} $$ KOřen $x = 8$ patří do definičního oboru, rovnice má jediné řešení $x = 8$. Můžeme, ale nemusíme provést zkoušku.

Poznámka: Rovnice může být také vyřešena jiným způsobem. Pokud si uvědomíme, že $\log_2 8 = 3$ poté můžeme zjednodušit a následně vyřešit rovnici: $$ \begin{gather} \log_2(2x) − \log_2 8 = 1 \cr \log_2(2x) = 4 \cr 2x = 2^4 \cr 2x = 16 \cr x = 8\end{gather} $$