Robert měl za úkol vyřešit jednoduchou exponenciální rovnici: $$ \frac13(108−3^x)=3^x $$
Řešil rovnici následujícím způsobem:
1) Začal upravením levé strany rovnice: $$ 36−3^x=3^x $$
2) Poté k oběma stranám přičetl $3^x$ a výrazy na pravé straně rovnice sečetl: $$ \begin{aligned} 36 & =3^x+3^x \cr 36 & =2 \cdot 3^x \end{aligned} $$
3) Nakonec napsal obě strany rovnice jako mocniny o stejném základu a porovnal exponenty k získání výsledku: $$ \begin{aligned} 36 & =6^x \cr 6^2 & =6^x \cr x & =2 \end{aligned} $$ Udělal Robert chybu? Pokud ano, ve kterém kroku?
Ano. Chybu udělal v krocích (1) a (3).
Ano. Chybu udělal v krocích (1) a (2).
Ano. Chybu udělal v krocích (2) a (3).
Ano. Chybu udělal v kroku (1).
Ano. Chybu udělal v kroku (3).
Ne. Všechny kroky jsou správně.
Pojdmě si ukázat správné řešení rovnice: $$ \frac13(108-3^x)=3^x $$ Po vynásobení obou stran výrazem $3$, získáme: $$ 108-3^x=3 \cdot 3^x $$ Poté můžeme přidat $3^x$ na obě strany rovnice a sečíst stejné výrazy na pravé straně: $$ \begin{aligned} 108 & =3 \cdot 3^x+3^x \cr 108 & =4 \cdot 3^x \end{aligned} $$ Dále obě strany rovnice dělíme číslem $4$, získáme: $$ 3^x=27 $$ Nakonec přepsáním $27$ jako $3^3$ získáme exponenciální rovnici o stejném základu na obou stranách a výsledek je porovnáním exponentů. $$ \begin{aligned} 3^x & =3^3 \cr x & =3 \end{aligned} $$ Poznámka: Student udělal první chybu v kroku (1) špatným rozložením závorky. Násobil $\frac13$ pouze první část v závorce. Druhá chyba byla v kroku (3). Rovnost $2\cdot 3^x=6^x$ zpravidla neplatí.