Parabola

Parabola $P$ prochází body $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$, $M=[-1; 0]$ a její osa souměrnosti je rovnoběžná s osou $x$ soustavy souřadnic. Určete vzdálenost ohniska paraboly od jejího vrcholu.

David vyřešil úlohu v těchto krocích:

(1) Zapsal rovnici paraboly $P$ ve vrcholovém tvaru. Osa paraboly $P$ je rovnoběžná s osou $x$ soustavy souřadnic, proto její vrcholový tvar je
$$P:(y - v_2)^2 = 2p(x - v_1),$$ kde $[v_1; v_2]$ jsou souřadnice vrcholu paraboly a $|2p|$ je vzdálenost ohniska $F$ od řídící přímky $d$, t. j. $$|VF|=|p|.$$

(2) Použil informaci, že parabola prochází body $K=[4; 5]$, $L=[2; 1]$ a $M=[-1; 0]$:

\begin{aligned} K \in P:\quad (5 - v_2)^2 &= 2p(4 - v_1)\cr L \in P:\quad (1 - v_2)^2 &= 2p(2 - v_1)\cr M \in P:\quad (0 - v_2)^2 &= 2p(-1 - v_1) \end{aligned}

(3) V soustavě třech rovnic s třemi neznámými vypočítal neznámou $p$. Nejprve v jednotlivých rovnicích roznásobil závorky: \begin{aligned} 25 - 10v_2 + v_2^2 &= 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 + v_2^2 &= 4p - 2pv_1\cr v_2^2 &= -2p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

Potom hodnotu $v_2^2$ z třetí rovnice dosadil do prvních dvou rovnic: \begin{aligned} 25 - 10v_2 - 2p - 2pv_1 = 8p - 2pv_1\cr 1 - 2v_2 - 2p - 2pv_1 = 4p - 2pv_1\cr\hline \end{aligned}

V dalším kroku k oběma rovnicím přičetl výraz $2pv_1 + 2p$:

\begin{aligned} 25 - 10v_2 &= 10p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Vydělil první rovnici číslem $-5$:

\begin{aligned} -5 + 2v_2 &= -2p\cr 1 - 2v_2 &= 6p\cr\hline \end{aligned}

Nakonec sečtením obou rovnic dostal rovnici s neznámou $p$, kterou vypočítal: $$-4 = 4p\ \Rightarrow \ p = -1$$

(4) David dospěl k závěru, že $|VF|=|p|=|-1|=1$.

Je Davidovo řešení správné? Pokud ne, určete, kde udělal v postupu chybu.