Jsou dány body $A=[-2; 3; 5]$, $B=[-1; 4; 4]$, $D=[-3; 5; 2]$, a $E=[2; 2; 3]$. Vypočítejte objem trojbokého jehlanu $ABDE$ v rovnoběžnostěnu $ABCDEFGH$ (kosém hranolu s rovnoběžníkovou podstavou).
Marie vyřešila tuto úlohu v následujících krocích.
(1) Zapsala vzorec na výpočet objemu jehlanu pomocí smíšeného součinu vektorů: $$V = \frac13\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\, \right)\cdot\overrightarrow{c}\ \right|,$$ kde $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}\ $ jsou vektory určené hranami trojbokého jehlanu.
(2) Nakreslila si rovnoběžnostěn $ABCDEFGH$, umístila na jeho hrany vektory: $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b} $, $\ \overrightarrow{c}\ $
a vypočítala jejich souřadnice:
$$\begin{alignat}{4}
\overrightarrow{a} &=\overrightarrow{AB} &&= B – A &&&= &&&&(1\ ;1\ ;-1)\cr
\overrightarrow{b} &=\overrightarrow{AD} &&= D – A &&&= &&&&(-1; 2; -3)\cr
\overrightarrow{c} &=\overrightarrow{AE} &&= E – A &&&= &&&&(4; -1; -2)
\end{alignat}$$
(3) Vypočítala $\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ $: $$ \begin{array}{cccc} 1&-1&1&1\cr 2&-3&-1&2\cr \hline \end{array} $$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(1\cdot(-3)-2\cdot(-1); -1\cdot(-1)-(-3)\cdot1; 1\cdot2-(-1)\cdot1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-3 + 2; 1 + 3; 2 + 1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-1; 4; 3)
\end{aligned}$$
(4) Vypočítala:
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c}$ :
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c} =(-1; 4; 3)\cdot(4; -1; -2) = -1 \cdot4 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -4 -4 -6 = -14$
(5) Nakonec vypočítala objem trojbokého jehlanu: $$V = \frac13\cdot|-14|=\frac13\cdot14 = \frac{14}{3}$$
Marie dospěla k závěru, že objem trojbokého jehlanu je $\frac{14}{3}$ jednotek kubických.
V řešení Marie je chyba. Kde ji udělala?
Chyba je v kroku (1). Marie použila nesprávný vzorec pro výpočet objemu jehlanu.
Chyba je v kroku (2). Marie nesprávně vypočítala souřadnice některého z vektorů $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}$.
Chyba je v kroku (3). Marie nesprávně vypočítala vektorový součin $\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$.
Chyba je v kroku (4). Marie nesprávně vypočítala hodnotu smíšeného součinu $\left(\,\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}$.
Použitý vztah by byl správný pro výpočet objemu čtyřbokého jehlanu s rovnoběžníkovou podstavou (např. $ABCDE$). Objem jehlanu s trojúhelníkovou podstavou (např. $ABDE$) je pouze polovina vypočítaného objemu jehlanu $ABCDE$ (obsah podstavy jehlanu s trojúhelníkovou podstavou $ABD$ je polovina obsahu podstavy jehlanu s rovnoběžníkovou podstavou $ABCD$). Proto je správný vzorec: $$V = \frac16\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}\ \right|$$ Objem daného jehlanu je $\frac73$ jednotek kubických: $$V = \frac16\cdot|-14|=\frac16\cdot14 = \frac73$$
