Petr byl zkoušen u tabule. Za úkol měl vyřešit logaritmickou rovnici: $$ \log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$
Třída sledovala jeho práci a v závěru měla zhodnotit správnost jeho postupu.
(1) Petr určil definiční obory obou logaritmů: $$ x-2>0 \land x>0 $$ Vyřešením těchto podmínek získal definiční obor zadané rovnice: $$ (2,+\infty) $$
(2) Levou stranu rovnice upravil podle vět o logaritmech: $$ \begin{align} \log_2( x-2+x)&=3 \cr \log_2( 2x-2)&=3 \end{align} $$
(3) Rovnici upravil podle pravidla: $$ \log_ax=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a získal: $$ 2x-2=2^3 $$
(4) Lineární rovnici vyřešil: $$ \begin{align} 2x-2&=2^3 \cr 2x-2&=8 \cr 2x&=10 \cr x&=5 \end{align} $$
Kořen $x=5$ patří do definičního oboru.
(5) Nicméně po provedení zkoušky: $$ \begin{align} L(5)&=\log_2(5-2)+\log_2( 5)=\log_23+\log_25\approx 3{,}907 \cr P(5) & =3 \cr L(5) & \neq P(5) \end{align} $$ Petr prohlásil, že rovnice nemá řešení.
Udělal Petr chybu? Pokud ano, určete kde.
ANo. Chyba je v kroku (2). Vztah $$ \log_2 (x-2)+\log_2 x=\log_2 (2x-2) $$ obecně neplatí.
Ano. Chyba je v kroku (1). Definiční obor rovnice je určen podmínkami: $$ x-2 \geq 0 \land x\geq0 $$ ze kterých dostaneme, že definičním oborem rovnice je interval $\langle 2,+\infty)$. Všechny další Petrovy kroky i získané řešení jsou již v pořádku.
Ano. Chyba je v kroku (5) ve zkoušce. Správně má být $$\log_23+\log_25=\log_28=3,$$ získané řešení $x=5$ je v pořádku.
Ne. Všechny kroky jsou v pořádku.
Správné řešení: $$\log_2(x-2)+\log_2( x)=3 $$ (1) Určíme definiční obory obou logaritmů: $$ x-2>0 \land x>0 $$ $$ x∈(2;\infty) $$
(2) Levou stranu rovnice upravíme podle pravidla $$ \log_a x+\log_a y=\log_a (xy) $$ na tvar: $$ \begin{align} \log_2[(x-2)\cdot x]=3 \cr \log_2( x^2-2x)=3 \end{align} $$
(3) Rovnici upravíme podle pravidla $$ \log_ax=v\Leftrightarrow x=a^v $$ na tvar: $$ x^2-2x=2^3 $$
Kvadratickou rovnici vyřešíme: $$ \begin{align} x^2-2x&=2^3 \cr x^2-2x-8&=0 \cr x_{1,2}&=\frac{2\pm \sqrt{36}}{2} \cr x_1&=4 \cr x_2&=-2 \end{align} $$
(4) Kořen $x=-2$ nepatří do definičního oboru, rovnice má jediné řešení $x = 4$. Můžeme (ale nemusíme) provést zkoušku. $$ \begin{align} L(4)&=\log_2(4-2)+\log_2( 4)=\log_22+\log_24=3 \cr P(4)&=3 \cr L(4)&=P(4) \end{align} $$