Obsah kružnice opsané

V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ s přeponou $AB$ známe $\sin\,⁡(\measuredangle BAC)=0{,}3$ a $|AC|=7$. Vypočítejte obsah kružnice opsané tomuto trojúhelníku.

Agnes tento problém vyřešila takto:

(1) Nejprve si nakreslila tento obrázek:

(2) Použitím vztahu pro goniometrickou jedničku $\sin^2⁡\, \alpha + \cos^2⁡\,\alpha=1$ vypočítala $\cos⁡\,\alpha$: $$ \cos\,\alpha = \sqrt{1-\sin^2\,\alpha}=\sqrt{1-0{,}09}=\frac{\sqrt{91}}{10} $$

(3) Věděla, že kosinus úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je definován jako poměr velikosti přilehlé odvěsny a přepony, a tak pokračovala: $$ \begin{gather} \cos⁡\,\alpha =\frac{7}{2R}\cr 2R=\frac{7}{\cos⁡\,\alpha} \cr 2R=\frac{70}{\sqrt{91}}\cr R=\frac{35}{\sqrt{91}} \end{gather} $$

(4) Nakonec vypočítala obsah kružnice opsané: $$P=\pi R^2 = \frac{175}{13}\pi $$

Jan řešil tento problém následovně:

(1) Nakreslil si stejný obrázek jako Agnes.

(2) Vzpomněl si na známý vzorec: $$ \frac{|AC|}{\sin⁡\,\beta} =\frac{|BC|}{\sin⁡\,\alpha} =2R $$

(3) Pomocí Pythagorovy věty určil délku $BC$: $$ \begin{gather} |BC|^2=(2R)^2-49 \cr |BC|=\sqrt{(2R)^2-49} \end{gather} $$

(4) Poté dosadil $\sqrt{(2R)^2-49}$ za $|BC|$ do předchozího vzorce a vypočítal poloměr $R$: $$ \begin{gather} \frac{\sqrt{(2R)^2-49}}{0{,}3}=2R \cr \sqrt{{(2R)^2-49}}=0{,}6R \cr 4R^2-49=0{,}36R^2 \cr R=\sqrt{\frac{49}{3{,}64}} \end{gather} $$

(5) Nakonec vypočetl obsah kružnice opsané: $$ P=\frac{49}{3{,}64 }\pi $$ Zde jsou komentáře jejich spolužáků. Který je správný?