Členy posloupnosti

Anna, Kristina a Ema řešily následující úkol:

Posloupnost $(a_n )$ je pro každé $n\in \mathbb{N}$ definovaná vztahem $a_n=\frac{5-3n}{7}$. Najděte všechny hodnoty $x\in \mathbb{R}$ tak, aby $$ a_4,~x^2+2, ~a_{11} $$ tvořily tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti a vypočítejte její kvocient $q$.

Anna nejprve vypočítala: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4. $$ Podle ní, jestliže jsou čísla $a_4$, $x^2+2$, $a_{11}$ tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, pak $$ x^2+2=\frac{a_{11}}{a_4} $$ takže $$ x^2+2=4. $$ Vyřešením této rovnice obdržela kořeny: $$ x=\pm \sqrt{2}. $$ Takže tři po sobě jdoucí členy posloupnosti jsou $-1$, $4$, $-4$ a koeficient geometrické posloupnosti $q=4$.

Kristina si vzpomněla, že pokud uvažujeme tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti $a$, $b$, $c$, pak $$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} $$ a $$ b^2=ac. $$ Vypočítala krajní členy: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ a dále postupovala takto: $$ \begin{gather} (x^2+2)^2=4 \cr |x^2+2|=2 \cr x^2+2=\pm2. \end{gather} $$ Řešením těchto dvou rovnic získala tři výsledky: $$ x=0,x=2,x=-2. $$ Pro $x=0$ jsou tři po sobě jdoucí členy $-1$, $2$, $-4$ a $q=-2$.

Pro $x=\pm 2$ jsou tři po sobě jdoucí členy $-1$, $4$, $-4$ a $q=4$.

Ema se domnívala, že pro prostřední člen posloupnosti musí platit: $$ x^2+2=\frac{a_4+a_{11}}{2}. $$ Vypočítala: $$a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ a proto $$ \begin{gather} x^2+2=-\frac{5}{2} \cr x^2=-\frac{9}{2}. \end{gather} $$ Z čehož usoudila, že zadání nemá řešení.

Která z dívek postupovala při řešení správně?