Jsou dány body $P=[7; 2]$ a $Q=[-1; 3]$. Napište parametrické vyjádření polopřímky opačné k polopřímce $QP$.
Linda řešila úlohu takto:
(1) Zapsala v obecném tvaru parametrickou rovnici polopřímky opačné k polopřímce $QP$: $$X = P + t \cdot\overrightarrow{u},\mbox{ kde } \overrightarrow{u} = \overrightarrow{PQ},\quad t\in \langle 0;\infty).$$
(2) Vypočítala směrový vektor $\overrightarrow{u}$: $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}= Q\ –\ P = (-8; 1)$.
(3) Zapsala parametrické vyjádření polopřímky opačné k polopřímce $QP$ v souřadnicích: $$\left. \begin{aligned} x&=7-8t\cr y&=2+t \end{aligned}\right\} \quad t\in\langle0; \infty)$$
Je řešení Lindy správné? Pokud ne, určete, kde je v jejím postupu chyba.
Řešení Lindy je správné.
Chyba je v kroku (1): Linda nesprávně určila přípustné hodnoty parametru $t$.
Chyba je v kroku (2): Linda nesprávně vypočítala souřadnice vektoru $\overrightarrow{u}$.
Chyba je v kroku (3): Linda nesprávně napsala parametrické vyjádření opačné polopřímky k polopřímce $QP$ v souřadnicích.
Protože polopřímka opačná k polopřímce $QP$ (na obrázku vyznačená červenou barvou) není polopřímka $PQ$, ale „začíná“ až v bodě $Q$ (ne v bodu $P$), jsou všechny přípustné hodnoty parametru $t$ z intervalu $\langle1;\infty)$.
(1) Parametrická rovnice polopřímky opačné k polopřímce $QP$ je : $$X = P + t \cdot\overrightarrow{u},\mbox{ kde } \overrightarrow{u} =\overrightarrow{PQ},\quad t\in \langle 1;\infty).$$
(2) Směrový vektor $\overrightarrow{u}$ : $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}= Q\ –\ P = (-8; 1)$.
(3) Parametrické vyjádření polopřímky opačné k polopřímce $QP$ v souřadnicích: $$\left. \begin{aligned} x&=7-8t\cr y&=2+t \end{aligned}\right\} \quad t\in\langle1; \infty)$$
