Jsou dány vektory $\overrightarrow{u}= (1; u_2)$ a $\overrightarrow{v} = (4; -1)$, dále platí: $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = 5$. Najděte hodnotu souřadnice $u_2$ vektoru $\overrightarrow{u}$.
Jana při řešení postupovala následovně:
(1) $\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}= (-3; u_2 + 1)$
(2) $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$
(3) Dále Jana řešila rovnici:
$$\sqrt{(-3)^2+(u_2+ 1)^2} = 5$$
(a) Obě strany rovnice umocnila:
$$9 +(u_2+ 1)^2=25$$(b) Od obou stran rovnice odečetla $9$: $$(u_2+ 1)^2=16$$
(c) Obě strany rovnice odmocnila: $$u_2+ 1=4$$
(d) Nakonec vypočítala $u_2$: $$u_2=3$$
Janino řešení je chybné. Kde Jana udělala ve svém postupu chybu?
Chyba je v kroku (1). Rozdíl vektorů $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{v}$ je: $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(-3; u_2-1)$.
Chyba je v kroku (2). Velikost rozdílu vektorů $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{v}$ sa rovná: $|\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-3)^2 \cdot(u_2+ 1)^2 }$.
Chyba je v kroku (3a). Po umocnění rovnice dostaneme: $-9 +(u_2+ 1)^2=25$.
Chyba je v kroku (3c). Po odmocnění rovnice dostaneme: $|u_2+ 1|=4$
Správné řešení rovnice $\sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} = 5 $ je:
$$\begin{alignat}2 \sqrt{(-3)^2+(u_2+1)^2} &= 5\quad &&/^2\cr 9 +(u_2+ 1)^2&=25 &&/-9\cr (u_2+ 1)^2&=16 &&/^\sqrt{} \cr |u_2+ 1|&=4 ⇔ &&\ (u_2+ 1=4)\vee(u_2+ 1=-4 )\cr & &&\ (u_2=3)\vee(u_2=-5) \end{alignat}$$