V košíku jsou 2 čokoládoví zajíci, kus za 70 Kč, 3 čokoládová vajíčka po 50 Kč a 5 bonbonů po 30 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru tří věcí z košíku získám sladkosti v ceně 130 Kč?
Karlovo řešení:
(1) Tři sladkosti v ceně 130 Kč získám jen dvěma způsoby:
a. Jeden zajíc a dva bonbony,
b. dvě vajíčka a jeden bonbon.
(2) Vybíráme 3 kusy ze všech deseti sladkostí v košíku. Celkový počet takových výběrů je $K={10\choose3}=120$.
(3) Počet výběrů, ve kterých je jeden zajíc a dva bonbony, je $K_1=2\cdot{5\choose2}=20$.
(4) Počet výběrů, ve kterých jsou dvě vajíčka a jeden bonbon, je $K_2={3\choose2}\cdot5=15$.
(5) Celkový počet příznivých výběrů je tedy $K_1\cdot K_2$. Pravděpodobnost, že tři náhodně vybrané sladkosti budou v ceně 130 Kč, je tedy $P=\frac{K_1\cdot K_2}{K}=\frac{300}{120}=2{,}5$.
Udělal Karel ve svých úvahách chybu? Pokud ano, určete, jak má vypadat správný výsledek a kde je chyba.
Chyba je v kroku (5). Celkový počet příznivých výběrů je součet $K_1+K_2$. Pravděpodobnost, že tři náhodně vybrané sladkosti budou v ceně 130 Kč, je $P=\frac{K_1+K_2}{K}=\frac{35}{120}\cong 0{,}2917$.
Chyba je v kroku (2). Počet různých výběrů je menší, stejné sladkosti se v košíku opakují. Počet různých trojic věcí je $K=9$, z toho dvě trojice splňují daná kritéria (1a, 1b). Výsledná pravděpodobnost je $P=\frac29\cong0{,}2222$.
Chyba je v kroku (3). Počet výběrů $K_1$, ve kterých je jeden zajíc a dva bonbony, spočítal Karel špatně. $K_1=1\cdot {7\choose2}=21$. Výsledná pravděpodobnost je $P=2{,}6250$.
Chyba je v kroku (5). Součin $K_1\cdot K_2$ je třeba vydělit součinem počtů opakujících se sladkostí. Výsledná pravděpodobnost $P=\frac{K_1\cdot K_2}{2\cdot 3\cdot5}\cdot\frac{1}{120}\cong0{,}0417$.
Řešení je zcela správně.