$\frac{10+5\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}$

Project ID: 
3000000004
SubArea: 
Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla
Question: 

Romeo měl určit imaginární část komplexního čísla $\frac{10+5\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}}$. Ve kterém kroku svého řešení udělal Romeo chybu?

(Číslo kroku je nad znakem rovnosti.)

$$ \begin{aligned} \frac{10+5\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}} &\stackrel{(1)}= \frac{(10+5\mathrm{i})(3+4\mathrm i)}{9+16}= \cr &\stackrel{(2)}= \frac{30+40\mathrm i + 15\mathrm i +20\mathrm i^2}{25}=\cr &\stackrel{(3)}= \frac{10+55\mathrm i}{25} =\cr&\stackrel{(4)}= \frac 25 + \frac{11}5\mathrm i \stackrel{(5)}\implies \end{aligned} $$

Imaginární část tohoto komplexního čísla $\frac 25 + \frac{11}5 \mathrm i$ je $\frac {11}5$.

Answer 1: 

V kroku (1). Romeo násobil čitatel výrazem $3+4\mathrm i$ a jmenovatel výrazem $3-4\mathrm i$.

Answer 2: 

V kroku (2). Výsledkem dané úpravy je $\frac{30-40-15+20\mathrm i^2}{25}$.

Answer 3: 

V kroku (3). Výsledkem dané úpravy je $\frac{50+55\mathrm i}{25}$.

Answer 4: 

V kroku (5). Imaginární část komplexního čísla $\frac 25 + \frac{11}5 \mathrm i$ je $\frac {11}5 \mathrm i$.

Correct Answer: 
Answer 1
Hint: 

$$ \begin{aligned} \frac{10+5\mathrm{i}}{3+4\mathrm{i}} &\stackrel{(1)}= \frac{(10+5\mathrm{i})(3-4\mathrm i)}{9+16} =\cr &\stackrel{(2)}= \frac{30-40\mathrm i + 15\mathrm i -20\mathrm i^2}{25}=\cr &\stackrel{(3)}= \frac{50-25\mathrm i}{25} =\cr&\stackrel{(4)}= 2 -\mathrm i\stackrel{(5)}\implies \end{aligned} $$ Imaginární část tohoto komplexního čísla je $-1$.