$\frac12=-\frac12$

Níže uvedená série rovností vede k tvrzení $\frac12=-\frac12$, které je zjevně nesprávné. Jedna z těchto rovností neplatí. $$\frac12=\sin30^\circ\stackrel{(1)}=-\sin210^\circ\stackrel{(2)}=\sin150^\circ\stackrel{(3)}=-\cos120^\circ\stackrel{(4)}=\cos\left(-120^\circ\right)\stackrel{(5)}=-\cos60^\circ=-\frac12$$ Učitel požádal studenty, aby odůvodnili platnost každého kroku. Zde jsou jejich komentáře:

Alice: Rovnost (1) platí. Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\sin ⁡x=-\sin\left(x+180^\circ\right)$. Proto mají síny úhlů $30^\circ$ (z 1. kvadrantu) a $210^\circ$ (z 3. kvadrantu) navzájem opačné hodnoty.

Ben: Rovnost (2) platí. Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\sin⁡\left(180^\circ+x\right)=-\sin\left(180^\circ-x\right)$. Proto mají síny úhlů $210^\circ$ (z 3. kvadrantu) a $150^\circ$ (z 2. kvadrantu) navzájem opačné hodnoty.

Daniel: Rovnost (3) platí.

• Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\sin x=\cos\left(x-90^\circ\right)$. Proto $\sin150^\circ=\cos⁡60^\circ$.
• Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\cos ⁡x=-\cos\left(180^\circ-x\right)$. Proto mají kosiny úhlů $60^\circ$ (z 1. kvadrantu) a $120^\circ$ (z 2. kvadrantu) navzájem opačné hodnoty, tj. $\cos 60^\circ=-\cos⁡120^\circ$.

Elena: Rovnost (4) platí. Pro každé reálné číslo $x$ platí následující: $-\cos ⁡x=\cos⁡\left(-x\right)$. Proto $-\cos120^\circ=\cos\left(-120^0\right)$.

Filip: Rovnost (5) platí.

• Funkce kosinus je periodická s periodou $360^\circ$. Proto $\cos\left(-120^\circ\right)=\cos⁡240^\circ$.
• Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\cos x=-\cos\left(180^\circ+x\right)$. Proto mají kosiny úhlů $60^\circ$ (z 1. kvadrantu) a $240^\circ$ (z 3. kvadrantu) navzájem opačné hodnoty, tj. $\cos 240^\circ=-\cos 60^\circ$.

Kdo nemá pravdu?