Řešte nerovnici: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\ \mbox{ pro }x\in\mathbb{R}$$ Michal vyřešil úlohu v následujících krocích:
(1) Substitucí $m=x-\frac{3\pi}{8}$, přepsal nerovnici na tvar: $$\mathrm{tg}\, m>1$$ (2) Potom vyřešil rovnici $\mathrm{tg}\, m=1$: $$m=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$ (3) Výsledek dosadil do substituce a vyjádřil neznámou $x$, čímž získal řešení rovnice $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)=1$: $$x-\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$ (4) Potom určil body, ve kterých funkce $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ není definována: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$ (5) Prohlásil, že funkce tangens je rostoucí, takže hodnota funkce $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ bude větší než $1$, když $x$ bude větší než $\frac{5\pi}{8}$. Kombinací tohoto výsledku s výsledkem získaným v kroku (4) dospěl k závěru: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x >\frac{5\pi}{8}\ \mbox{ a } x\neq\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
Takže prohlásil, že řešením dané nerovnice je: $$K=\left(\frac{5\pi}{8};+\infty\right)\backslash\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot \pi\right\}$$ Řešení není správné. Ve kterém kroku Michal chyboval?
Chyba je v kroku (1). V tomto případě nelze použít substituci.
Chyba je v kroku (2). Jedno řešení rovnice $\mathrm{tg}\, m=1$ je $m=\frac{\pi}{4}$ a základní perioda funkce $\mathrm{tg} (m)$ je $2\pi$. Všechna řešení rovnice $\mathrm{tg}\, m=1$ proto jsou: $$m=\frac{\pi}{4}+2\cdot k\cdot\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (3). Neznámá $x$ není vyjádřena správně. Mělo by být: $$x=-\frac{\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
Chyba je v kroku (4). Funkce není definována pro: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Chyba je v kroku (5). Funkce není rostoucí na celém svém definičním oboru. Funkce tangens je rostoucí pouze mezi každými dvěma sousedními body, ve kterých není definována.
Správné řešení je následující. Funkce není definována v bodech:
$$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Funkce tangens je periodická a rostoucí mezi každými dvěma sousedními body, ve kterých není definována. Proto:
$$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x \in\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ pro } k\in\mathbb{Z}$$
Řešení nerovnice $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1$ můžeme zapsat:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right)$$