Je dáno parametrické vyjádření roviny
$$\rho:\quad \left.\begin{aligned} x&=1-2r+s\cr y&=-2+4r-5s\cr z&=1+r+2s\end{aligned}\right\} \ r,s\in\mathbb{R} $$ a parametrické vyjádření přímky $$q:\quad \left.\begin{aligned} x&=3+t\cr y&=t\cr z&=1-3t \end{aligned}\right\} \ t\in\mathbb{R}, $$
Určete vzájemnou polohu roviny $\rho$ a přímky $q$.
Jirka vyřešil úlohu v následujících krocích:
(1) Určil souřadnice směrového vektoru přímky $q$: $$\overrightarrow{u}=(1,1,-3)$$
(2) Potom určil souřadnice směrových vektorů $\overrightarrow{v}$ a $\overrightarrow{w}$ roviny $\rho$ a z nich vypočítal souřadnice jejího normálového vektoru $\overrightarrow{n_{\rho}}$: \begin{aligned} \overrightarrow{v}&=(-2,4,1)\cr \overrightarrow{w}&=(1,-5,2) \end{aligned} \begin{aligned} \overrightarrow{n_{\rho}}=\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}&=(4\cdot2-(-5)\cdot 1,1\cdot1-2\cdot(-2),-2\cdot(-5)-1\cdot4)=\cr &=(8+5,1+4,10-4)=(13,5,6) \end{aligned}
(3) Zkontroloval, zda jsou vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně závislé, tedy zda vektor $\overrightarrow{n_{\rho}}$ je $k$ násobkem vektoru $\overrightarrow{u}$, kde $k\in\mathbb{R}$: \begin{aligned} 13&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac{1}{13}\cr 5&=k\cdot1\Rightarrow k=\frac15\cr 6&=k\cdot(-3)\Rightarrow k=-\frac12 \end{aligned} Jirka zjistil, že neexistuje žádné reálné číslo $k$, pro které $\overrightarrow{n_{\rho}}=k\cdot\overrightarrow{u}$, a proto jsou vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně nezávislé (nejsou lineárně závislé).
(4) Udělal závěr, že pokud jsou vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně nezávislé, přímka $q$ a rovina $\rho$ jsou rovnoběžné.
Je Jirkovo řešení správné? Pokud ne, určete, kde Jirka udělal v postupu chybu.
Jirkovo řešení je správné.
Chyba je v kroku (1). Jirka nesprávně určil souřadnice směrového vektoru $\overrightarrow{u}$ přímky $q$.
Chyba je v kroku (2). Jirka nesprávně vypočítal souřadnice normálového vektoru $\overrightarrow{n_{\rho}}$ roviny $\rho$.
Chyba je v kroku (3). Není pravda, že jsou $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně nezávislé. Je zřejmě, že existuje reálné číslo $k$, pro které $\overrightarrow{n_{\rho}}= k\cdot\overrightarrow{u}$.
Chyba je v kroku (4). Skutečnost, že normálový vektor roviny a směrový vektor přímky jsou lineárně nezávislé, nestačí na určení vzájemné polohy přímky a roviny.
Pokud jsou vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně závislé, přímka je kolmá na rovinu, a přímka je tedy s rovinou různoběžná (obrázek d)).
Pokud jsou $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ lineárně nezávislé, existují tři možnosti: Přímka a rovina jsou rovnoběžné, přičemž přímka neleží v rovině (obrázek a)), přímka leží přímo v rovině (obrázek b)) nebo je přímka s rovinou různoběžná (obrázek c)), ale není na ni kolmá.
Pokud chceme použít směrový vektor $\overrightarrow{u}$ přímky $q$ a normálový vektor $\overrightarrow{n_{\rho}}$ roviny $\rho$ na určení vzájemné polohy $q$ a $\rho$, je lepší určit, zda jsou tyto vektory na sebe kolmé.
Pokud jsou $\overrightarrow{n_{\rho}}$ a $\overrightarrow{u}$ na sebe kolmé, potom je přímka $q$ buď rovnoběžná s rovinou $\rho$ a neleží v ní (obrázek a)), nebo je $q$ rovnoběžná s rovinou $\rho$ a leží v ní (obrázek b)).
Pokud nejsou $\overrightarrow{n_{\rho}}$ a $\overrightarrow{u}$ na sebe kolmé, potom je přímka $q$ různoběžná s rovinou $\rho$ (obrázek c) nebo d)).
Vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ na sebe jsou kolmé, pokud $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=0$. Zjistíme tedy hodnotu jejich skalárního součinu: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}=1\cdot13+1\cdot5+(-3)\cdot6=13+5-18=0$$
Vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ jsou tedy na sebe kolmé. Proto je přímka $q$ buď rovnoběžná s rovinou $\rho$ a neleží v ní, nebo přímka $q$ leží v rovině $\rho$. Dále zjistíme, která z těchto možností je pravdivá:
Z parametrických rovnic přímky $q$ určíme souřadnice jejího bodu $A$: $$A=[3; 0; 1]$$ Zjistíme, zda $A$ leží také v rovině $\rho$:
$$\underline{\begin{aligned} 3 &= 1 - 2r + s\cr 0 &= -2 + 4r - 5s\cr 1 &= 1 + r + 2s \end{aligned}} $$
Z třetí rovnice vyjádříme $r = -2s$ a dosadíme ho do první a druhé rovnice: \begin{aligned} 3 &= 1 - 2\cdot(-2s) + s \Rightarrow 2 = 5s \Rightarrow s = \frac25\cr 0 &= -2 + 4\cdot(-2s) - 5s \Rightarrow 2 = -13s \Rightarrow s = -\frac{2}{13} \end{aligned}
Protože jsme vypočítali různé hodnoty pro parametr $s$, soustava nemá žádné řešení. Proto bod $A$ neleží v rovině $\rho$. Přímka $q$ je tedy s rovinou $\rho$ rovnoběžná, ale $q$ neleží v $\rho$ (obrázek a)).
a) Přímka $q$ je rovnoběžná s rovinou $\rho$, ale $q$ neleží v rovině $\rho$.
b) Přímka $q$ leží v rovině $\rho$.
c) Přímka $q$ je různoběžná s rovinou $\rho$, ale není na ni kolmá.
d) Přímka $q$ je různoběžná s rovinou $\rho$ a je na ni zároveň kolmá.
