Určete součet všech čísel, pro která není definovaný následující výraz: $$\left(\frac{x-2}{x^2-9}+1\right):\frac{1-x}{x+2} + \frac{5}{3x-x^2}$$ Kamila vyřešila úlohu v následujících krocích:
(1) Pro výraz v závorkách napsala podmínku jeho existence a určila, pro které hodnoty $x$ tento výraz není definovaný: $$\begin{aligned}x^2 - 9\neq0 &\Rightarrow (x - 3)\cdot(x + 3)\neq0 \Rightarrow \cr&\Rightarrow(x - 3\neq0 \land x + 3 \neq 0)\Rightarrow \cr &\Rightarrow (x\neq3 \land x \neq -3)\end{aligned}$$ (2) Potom napsala podmínku, která musí být splněna, aby byl zlomek $\frac{1-x}{x+2}$ definovaný: $$x + 2\neq0 \Rightarrow x \neq -2$$
(3) Dále zapsala podmínku existence zlomku $\frac{5}{3x-x^2}$ a určila, pro které hodnoty $x$ tento zlomek není definovaný: $$\begin{aligned} 3x-x^2\neq0 &\Rightarrow x\cdot(3-x)\neq0 \Rightarrow\cr &\Rightarrow (x\neq0 \land 3 - x\neq 0)\Rightarrow\cr & \Rightarrow (x \neq0 \land x \neq 3)\end{aligned}$$ (4) Nakonec Kamila tvrdila, že daný výraz není definovaný pro $$x\in\left\{-3;-2;0;3\right\}$$ a určila součet těchto čísel: $(-3) + (-2) + 0 + 3 = -2$.
V řešení Kamily je chyba. Kde udělala Kamila ve svém postupu chybu?
Chyba je v kroku (1). Kamila neurčila správně všechny podmínky pro výraz v závorkách.
Chyba je v kroku (2). Kamila neurčila správně všechny podmínky, které musí zlomek $\frac{1-x}{x+2}$ splňovat, aby byl definovaný.
Chyba je v kroku (3). Kamila neurčila správně všechny podmínky, které musí zlomek $\frac{5}{3x-x^2}$ splňovat, aby byl tento výraz definovaný.
Chyba je v kroku (4). Kamila vyslovila nesprávný závěr, protože vynechala jednu podmínku. Proto součet čísel, pro které daný výraz není definovaný, není určen správně.
Kamila si neuvědomila, že zlomek $\frac{1-x}{x+2}$ je také jmenovatelem ve výrazu: $$\frac{\frac{x-2}{x^2-9}+1}{\frac{1-x}{x+2}}$$ To znamená, že i zlomek $\frac{1-x}{x+2}$ musí splňovat podmínku: $$\frac{1-x}{x+2}\neq 0 \Rightarrow 1 - x \neq 0 \Rightarrow x\neq1$$ Daný výraz není definovaný pro $$x\in\left\{-3;-2;0;1;3\right\}$$ a součet těchto čísel je: $$(-3) + (-2) + 0 + 1 + 3 = -1.$$