Jsou dány body $A=[3; -1; -2]$, $B=[5; 2; -3]$, $C=[2; -4; 3]$, $K=[-2; 3; 4]$ a $L=[-3; 1; 6]$. Nechť rovina $\alpha=\overleftrightarrow{ABC}$ a přímka $p = \overrightarrow{KL}$. Pomocí směrového vektoru přímky a normálového vektoru roviny zjistěte, jestli přímka $p$ protíná rovinu $\alpha$. Úlohu řešte bez výpočtu jejich průniku.
Alžběta tuto úlohu vyřešila v následujících krocích:
(1) Nejprve napsala:
- Pokud normálový vektor roviny a směrový vektor přímky jsou na sebe kolmé, je přímka rovnoběžná s rovinou nebo přímka leží v rovině.
- Pokud normálový vektor roviny a směrový vektor přímky na sebe nejsou kolmé, přímka a rovina jsou různoběžné.
(2) Vypočítala souřadnice směrového vektoru přímky $p$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (-1; -2; 2)$$ (3) Potom určila vektory $\overrightarrow{AB}$ a $\overrightarrow{AC}$: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&= B - A = (2; 3; -1)\cr\cr \overrightarrow{AC}&= C - A = (-1; -3; 5) \end{aligned}$$ a vypočítala souřadnice normálového vektoru roviny $\alpha$: $$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{n_{\alpha}}&=(2\cdot(-3)-(-1)\cdot3; 3\cdot5-(-3)\cdot(-1);-1\cdot(-1)-5\cdot2)=\cr &=(-6+3;15-3;1-10) = (-3;12;-9)\end{aligned}$$
(4) Dále vypočítala skalární součin $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=-1\cdot(-3)+(-2)\cdot12 + 2\cdot(-9)=3-24-18 =-45$$
(5) Nakonec dospěla k závěru, že pokud vektory $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ na sebe nejsou kolmé $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}\neq0)$, tak jsou přímka $p$ a rovina $\alpha$ různoběžné.
Je Alžbětino řešení správné? Pokud ne, určete, kde Alžběta v postupu udělala chybu.
Alžbětino řešení je správné.
Chyba je v kroku (1). Tvrzení Alžběty jsou nesprávná.
Chyba je v kroku (3). Alžběta nesprávně vypočítala souřadnice vektoru $\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Chyba je v kroku (4). Alžběta udělala chybu při výpočtu skalárního součinu $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$.
Alžběta nesprávně určila vektor $\overrightarrow{n_{\alpha}}$. Správný postup je následující:
Po určení vektorů $\overrightarrow{AB}= (2; 3; -1)$ a $\overrightarrow{AC}= (-1; -3; 5)$, získáme normálový vektor roviny $\alpha$ jejich vektorovým součinem:
$$\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{n_{\alpha}}&=(3\cdot5-(-3)\cdot(-1); -1\cdot(-1)-5\cdot2;2\cdot(-3)- (-1)\cdot3)=\cr
&=(15-3;1-10;-6+3) = (12;-9;-3)
\end{aligned}$$
Tedy skalární součin vektorů $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}$ se vypočítá jako:
$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}= -1\cdot12 + (-2)\cdot(-9) + 2\cdot(-3) = 0$$
To znamená, že normálový vektor roviny a směrový vektor přímky jsou kolmé $(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\alpha}}=0)$. Proto přímka $p$ je buď rovnoběžná s rovinou $\alpha$ nebo přímka $p$ leží v rovině $\alpha$.