Lisa měla zjistit počet dělitelů přirozeného čísla $46\,200$. Úlohu vyřešila v následujících krocích:
(1) Rozložila číslo na součin prvočísel:
$$46\,200=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11$$
(2) Výsledek vyjádřila pomocí mocnin:
$$46\,200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$$
(3) Tvrdila, že počet dělitelů je součet exponentů získáných po rozkladu čísel na prvočísla, t. j. $8$. $$3+1+2+1+1=8$$
Je její řešení správné? Pokud ne, určete nesprávný krok.
Ano, řešení je správné.
Ne, řešení není správné. Chyba je v kroku (1). Rozklad na součin prvočísel je:
$$46\, 200= 3^1\cdot7^1\cdot8^1\cdot11^1\cdot25^1$$ Počet jeho dělitelů je: $$1+1+1+1+1=5$$
Ne, řešení není správné. Chyba je v kroku (3). Celkový počet dělitělů se zjistí tak, že ke každému exponentu připočteme 1 a potom sečteme. Počet dělitelů je tedy:
$$4+2+3+2+2=13$$
Ne, řešení není správné. Chyba je v kroku (3). Celkový počet dělitelů zistíme tak, že ke každému exponentu připočteme $1$ a vypočteme jejich součin. Počet dělitelů je tedy: $$4\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2=96$$
Pro číslo, jehož prvočíselný rozklad je $x^a\cdot y^b$, určíme celkový počet delitělů tak, že ke každému exponentu připočteme $1$ a potom je vynásobíme. Tím vyjádříme vzorec vzorec pro počet dělitelů jako $(a + 1)\cdot(b + 1)$, kde $a$ a $b$ jsou exponenty získané prvočíselným rozkladem daného čísla.
Příklad: Číslo $12$ má prvočíselný rozklad $12 =2^2\cdot3^1$.
Počet jeho dělitelů je $(2 + 1)\cdot(1 + 1) = 6$.
Všechny dělitele mají tvar $2^a\cdot3^b$, kde $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$.
Jsou to $1 = 2^0\cdot3^0$, $2 = 2^1\cdot3^0$, $3 =2^0\cdot3^1$, $4 = 2^2\cdot3^0$, $6 = 2^1\cdot3^1$ a $12 = 2^2\cdot3^1$.
Správné řešení: Číslo $46\, 200$ má prvočíselný rozklad $46\, 200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$.
Počet jeho dělitelů je (3 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 96.