$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$

Ve třídě se zkoušelo na tabuli a žáci třídy kontrolovali postup tří spolužaček u tabule. Zadání bylo jednotné: Řešte rovnici pro $x \in \mathbb{R}$ $$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$$

Jana

(1) Určila definiční obor logaritmu: $\log⁡{x}$: $$ x>0 $$

(2) Rovnici $\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$ vydělila výrazem $\log{⁡x}$: $$ \log{⁡x}-2=0 $$

(3) Převedla dvojku na pravou stranu rovnice: $$ \log{x} = 2 $$

(4) Upravila podle vzorce $$ \log_a{⁡x}=v \Leftrightarrow x=a^v $$ a získala: $$ x=10^2 $$

Alena

(1) Určila definiční obor logaritmu: $\log{⁡x}$: $$ x>0 $$

(2) Rovnici upravila podle vět o logaritmech na tvar: $$ 2 \log{⁡x}-2 \log⁡{x}=0 $$ $$0=0$$

(3) Z rovnice a z definičního oboru logaritmu vyplývá, že řešením je množina všech kladných reálných čísel.

Dana

(1) Určila definiční obor logaritmu: $\log{⁡x}$: $$x>0$$

(2) Zavedla substituci: $$\log{⁡x}=t$$

(3) Získala rovnici kvadratickou: $$t^2-2t=0$$

(4) Rovnici řešila vytknutím $t$: $$ \begin{gather} t^2-2t=0 \cr t(t-2)=0 \end{gather} $$ získala kořeny: $$ t=0, ~t=2 $$

(5) Nyní se vrátila k substituci a získala kořeny původní rovnice: $$ \begin{gather} t=0 \Rightarrow \log{⁡x}=0 \Rightarrow x=1 \cr t=2 \Rightarrow \log{⁡x}=2 \Rightarrow x=100 \end{gather} $$

Která z těchto dívek měla postup správný?