Gregg zjednodušil racionální výraz $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}$$ v nasledujících krocích:
(1) Na začátku určil podmínku $x\neq1$.
(2) Druhý zlomek upravil takto: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$
(3) Potom odstranil zlomky vynásobením racionálního výrazu výrazem $x-1$:
$$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1$$
Je jeho řešení správne? Pokud ne, určete všechny jeho chyby.
Ano, celé celé řešení je správné.
Ne, jeho řešení není správné. Chyba je v kroku (2). Druhý zlomek měl upravit takto: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$$ Potom měl zlomky odstranit jejich vynásobením výrazem $x-1$ a získat výsledek $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=x-1$$
Ne, jeho řešení není správné. Chyba je v kroku (3). Vynásobením výrazu výrazem $x-1$ se změní jeho hodnota. Správny krok (3) je:
$$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$$
Ne, jeho řešení není správné. Chyby jsou v krocích (2) aj (3). Gregg měl druhý zlomek upravit takto: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$$
Další krok by měl být: $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$.
Správné řešení:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{x-1},\quad x\neq1$$