Rozhodněte o správnosti řešení nerovnice $$ -x^4+10x^3+11x^2>0 $$
(1) Nejprve danou nerovnost přepíšeme na tvar: $$ \begin{gather} -x^2(x^2-10x-11)>0 \cr x^2(x^2-10x-11)<0 \end{gather} $$
(2) Dále rozložíme kvadratický mnohočlen v závorce: $$ \begin{gather} D=(-10)^2-4\cdot (-11) \cr x_1=\frac{10-\sqrt{144}}{2}=-1,x_2=\frac{10+\sqrt{144}}{2}=11 \cr x^2-10x-11=(x+1)(x-11) \end{gather} $$ (3) Nakonec rozložíme levou stranu nerovnice na součin tří výrazů: $$ x^2(x+1)(x-11)<0 $$
(4) Nechť $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$. Můžeme snadno odvodit, že $P(x)=0$ pro $x=-1$, $0$ a $11$. Pomocí těchto nulových bodů můžeme rozdělit reálnou osu na intervaly: $$ (- \infty;-1),~(-1;0),~(0;11),~(11;+\infty) $$ (5) Dále víme, že výraz $P(x)$ změní své znaménko v každém nulovém bodě. Pro první interval $(- \infty;-1)$ je $P(x)>0$. Můžeme tedy dojít k závěru, že řešením nerovnice jsou všechna $$x\in (-1;0)\cup (11;+\infty).$$ Je v řešení chyba, nebo jsou všechny uvedené části postupu v pořádku?
Řešení je správné.
Chyba je v kroku (2). Rozklad kvadratického mnohočlenu by měl mít tento tvar: $$ x^2-10x-11=(x-1)(x+11) $$
Chyba je v kroku (4). Polynom $P(x)=x^2(x+1)(x-11)$ můžeme vydělit výrazem $x^2$. Řešením jsou pak intervaly: $(- \infty;-1)$, $(-1;11)$, $(11;+\infty)$.
Chyba je v kroku (5). Řešení je chybné.
Polynom nemění znaménko ve všech případech, kdy hodnota $x$ projde nulovým bodem. To je přesně případ polynomu $P(x)=x^2(x+1)(x−11)$, jak můžeme vidět v následující tabulce:
| $x$ | $(- \infty;-1)$ | $(-1;0)$ | $(0;11)$ | $(11;+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-11$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $P(x)$ | $\oplus$ | $\ominus$ | $\ominus$ | $\oplus$ |
Z výše uvedeného je patrné, že řešením nerovnice je množina všech $$x\in (−1;0)\cup (0;11)$$
Pro řešení je zásadní, že $P(x)=x^2(x+1)(x−11)$ obsahuje výraz s druhou mocninou $x^2$, Hodnota $x=0$ je tedy dvojnásobným kořenem rovnice $P(x)=0$. V těchto případech polynom v nulovém bodě nemění znaménko.