Určete vnitřní úhly trojúhelníku $ABC$, je-li dáno: $b=2\,\mathrm{cm}$, $a=1{,}7\,\mathrm{cm}$ a $\alpha=30^\circ$. (Předpokládáme značení, kdy úhly $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ leží po řadě proti stranám $a$, $b$, $c$.)
Petrovo řešení:
(1) Petr použil sinovou větu: $$\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}$$
(2) Po dosazení známých hodnot dostal rovnici: $$\frac{\sin\beta}{2}=\frac{\sin 30^\circ}{1{,}7}$$
(3) Protože $\sin 30^\circ=\frac12$, rovnici upravil: $$\sin\beta=\frac{10}{17}$$
(4) S využitím kalkulačky zjistil, že rovnice $\sin\beta=\frac{10}{17}$ má jediné řešení a to: $$\beta=36^\circ$$
(5) Potom dopočítal zbývající vnitřní úhel v trojúhelníku: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \implies \gamma=180^\circ - 30^\circ-36^\circ=114^\circ$$
(6) Zapsal závěr, že trojúhelník $ABC$ má vnitřní úhly: $$\alpha=30^\circ,\, \beta=36^\circ,\, \gamma=114^\circ$$
V jednom kroku udělal Petr chybu. Určete, ve kterém.
Chyba je v kroku (4). Úhel $\beta=36^\circ$ není jediným řešením rovnice $\sin\beta=\frac{10}{17}$.
Chyba je v kroku (1). Sinová věta není správně sestavena.
Chyba je v kroku (3). Správně by mělo být, že $\sin\beta= \frac{\sqrt3}{1{,}7}$.
Chyba je v kroku (3). Platí, že $\sin\beta=\frac{10}{17}\cdot\frac14=\frac{5}{34}$.
Chyba je v kroku (4). Úhel $\beta=36^\circ$ není jediným řešením rovnice $\sin\beta=\frac{10}{17}$. Zadání vyhovuje i tupý úhel $\beta=144^\circ$. Tj. zadání úlohy vyhovují dva trojúhelníky. Jeden má vnitřní úhly $\alpha=30^\circ$, $\beta=36^\circ$, $\gamma=114^\circ$, druhý má vnitřní úhly $\alpha=30^\circ$, $\beta=144^\circ$, $\gamma=6^\circ$.