Michal řešil rovnici s neznámou ve jmenovateli $$ \frac{x+2}{x}+\frac{2x+1}{x+2}=\frac{−4x+4}{x^2+2x} $$ takto:
(1) Vynásobil obě strany rovnice výrazem $x(x+2)$: $$ (x+2)^2+x(2x+1)=−4x+4 $$
(2) Dvojčlen umocnil a odstranil závorky. $$ x^2+4x+4+2x^2+x=−4x+4 $$
(3) Sečetl vhodně výrazy a získal kvadratickou rovnici. Tu pak převedl do součinového tvaru: $$\begin{aligned} 3x^2+9x&=0 \cr 3x(x+3)&=0 \end{aligned}$$
(4) Součin činitelů je nula právě tehdy, když jeden nebo více činitelů je nula. Michal tak došel k závěru, že rovnice má dvě řešení, a to $x=0$ a $x=−3$.
Je jeho řešení správně? Pokud ne, identifikuj všechny jeho chybné kroky.
Ne, jeho řešení není správně. Při řešení rovnice s neznámou ve jmenovateli máme dvě možnosti: na začátku stanovit podmínku nebo na konci provést zkoušku.
Ne, jeho řešení není správně. K řešením $x=0$ a $x=−3$ měl přidat řešení $x=−2$, které je zřejmé přímo ze zadání. (Nulový jmenovatel).
Ano, celé řešení je bezchybné.
Ne, chyba je v kroku (3). Měl kvadratickou rovnici řešit pomocí vzorce: $$ x_{1,2}=\frac{−9 \pm \sqrt{9^2−4\cdot 3\cdot 0}}{2} $$ Výpočtem by získal řešení $x=0$ a $x=−9$.
V původní rovnici hodnoty $x=0$ a $x=−2$ vynulují jmenovatele. Jelikož dělení nulou není definováno, nemohou to být řešení zadané rovnice. Jestliže nestanovíme podmínky a začneme řešit rovnici s neznámou ve jmenovateli násobením obou stran rovnice nejmenším společným jmenovatelem, musíme vždy provést zkoušku dosazením do zadané rovnice. Můžeme totiž získat falešná řešení, která zkouškou vyloučíme. Provedením zkoušky v našem příkladě zjistíme, že zadaná rovnice má pouze jediné řešení:
Pro $x=−3:~L=\frac{−3+2}{−3}+\frac{2\cdot (−3)+1}{−3+2}=\frac{1}{3}+5=\frac{16}{3},~P=\frac{−4\cdot (−3)+4}{(−3)^2+2\cdot (−3)}=\frac{16}{3}.$
Pro $x=0:~L=\frac{0+2}{0}+\frac{2 \cdot 0+1}{0+2} \mathrm{~(nedefinováno)},~P=\frac{−4\cdot 0+4}{0^2+2 \cdot 0} \mathrm{~(nedefinováno)}$
Vidíme, že $x=0$ není řešením.