Michaela, Gabriela a Zuzana dostaly za úkol převést na zlomek desetinné číslo $$x=12{,}3\overline{45}$$
Michaela vyřešila úlohu v následujících krocích:
(1) Nejprve vynásobila rovnici číslem $1\,000$ a dostala druhou rovnici pro $x$: $$\begin{aligned} x&=12{,}3\overline{45}\cr 1\,000x&=12\,345{,}\overline{45}\end{aligned}$$
(2) Potom Michaela odečetla první rovnici od druhé: $$1\,000x-x=12\,345{,}\overline{45}-12{,}3\overline{45}$$
(3) Následně rovnici zjednodušila: $$999x=12\,333$$ (4) Nakonec Michaela vyjádřila $x$ jako zlomek: $$x=\frac{12\,333}{999}=\frac{4\,111}{333}$$
Gabriela postupovala takto:
(1) Nejprve vytvořila dvě rovnice. První vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslem $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$ Druhou vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslem $1\,000$: $$1\,000x=12\,345{,}\overline{45}.$$
(2) Potom Gabriela odečetla první rovnici od druhé rovnice: $$1\,000x-10x=12\,345{,}\overline{45}-123{,}\overline{45}$$
(3) Zjednodušením Gabriela získala rovnici bez desetinných míst: $$990x=12\,222$$ (4) Vyjádřila $x$ jako zlomek: $$x=\frac{12\,222}{990}=\frac{679}{55}$$
Zuzana postupovala takto:
(1) Vytvořila také dvě rovnice: První vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslem $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$
Druhou vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslem $100$: $$100x=1\,234{,}\overline{54}.$$
(2) Dále Zuzana odečetla první rovnici od druhé: $$100x-10x=1\,234{,}\overline{54}-123{,}\overline{45}$$
(3) Potom uvedenou rovnici zjednodušila: $$90x=1\,111{,}09$$ (4) Nakonec Zuzana vyjádřila $x$ jako zlomek: $$x=\frac{1\,111{,}09}{90}=\frac{111\,109}{9\,000}$$
Která z dívek vyřešila úlohu správně?
Michaela
Gabriela
Zuzana
Žádná z nich
Každá z nich
Pokud chceme převést číslo $x$ s nekonečným periodickým rozvojem na zlomek, musíme určit dva násobky $x$ tak, aby číslice za desetinnou čárkou v obou násobcích byla stejná. Michaela a Zuzana nepostupovaly podle doporučeného postupu.
Michaela udělala chybu v kroku (3), kdy odečetla čísla $12\,345{,}\overline{45}$ a $12{,}3\overline{45}$. Rozdíl $12\,345{,}\overline{45}-12{,}3\overline{45}$ není číslo s konečným desetinným rozvojem, a proto ho není možné použít na převod $x$ na zlomek. Zuzana udělala chybu v kroku (1), když vynásobila rovnici $x=12{,}3\overline{45}$ číslem $100$. I kdyby Zuzana určila $100x$ správně, rozdíl mezi $100x$ a $10x$ by stále byl číslem s nekonečným desetinným rozvojem, a proto ho opět není možné použít pro převod $x$ na zlomek.