Vypočítejte odchylku přímek $p$ a $q$, kde $$p\colon y=2x-1\ \mbox{ a }\ q\colon 3x+7y-4=0.$$
Michalovo řešení:
(1) Obecná rovnice přímky $p$ je $$2x-y-1=0.$$
(2) Normálové vektory přímek jsou: $$\overrightarrow{n}_p=(2;-1), \ \overrightarrow{n}_q=(3;7).$$
(3) Odchylku přímek $p$ a $q$ vypočítáme ze vztahu $$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$
(4) Po dosazení do vztahu dostaneme: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{-1}{\sqrt{290}}.$$
(5) $\varphi=\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{290}}\right)\cong 93^\circ\, 22´$ (použitím kalkulačky).
Michalovo řešení je nesprávné. Kde udělal Michal ve svém postupu chybu?
Chyba je v kroku (2). Normálové vektory přímek jsou: $$\overrightarrow{n}_p=(1;2), \ \overrightarrow{n}_q=(7;-3).$$
Chyba je v kroku (3). Odchylku přímek $p$ a $q$ vypočítáme ze vztahu: $$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}.$$
Chyba je v kroku (4). Po dosazení dostaneme: $$\cos\varphi=\frac{2\cdot3+(-1)\cdot7}{|2^2+(-1)^2|\cdot|3^2+7^2|}=\frac{-1}{5\cdot58}=\frac{-1}{290}.$$
Chyba je v kroku (5). Je nesprávně vypočítaná hodnota úhlu. Správně: $\varphi\cong 3^\circ\, 22´$.
$$\begin{aligned} &\overrightarrow{n}_p=(2;-1)\mbox{,}\qquad\overrightarrow{n}_q=(3;7)\cr &\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n}_p\cdot\overrightarrow{n}_q|}{|\overrightarrow{n}_p|\cdot|\overrightarrow{n}_q|}=\frac{|2\cdot3+(-1)\cdot7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{58}}=\frac{1}{\sqrt{290}}\implies\varphi\cong86^\circ\, 38´\textrm{.} \end{aligned}$$