Potencias y raíces de números complejos

1003118405

Parte: 
C
Todas las soluciones de la ecuación \( x^6-4\sqrt3+4\mathrm{i} = 0 \) se pueden mostrar como puntos en el sistema de coordenadas rectangular. ¿Cuál es la distancia de los dos puntos más distantes?
\( 2\sqrt2 \)
\( \sqrt2 \)
\( 2\sqrt[3]4 \)
\( \sqrt[3]4 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)

1003118406

Parte: 
C
Todas las soluciones de la ecuación \( x^4+1+\sqrt3\mathrm{i} = 0 \) son números complejos, cuyos argumentos pertenecen al intervalo \( [0; 2\pi) \). Calcula la suma de los argumentos de todas las soluciones de la ecuación.
\( \frac{13}3\pi \)
\( 4\pi \)
\( \frac{25}6\pi \)
\( \frac92\pi \)

1103118404

Parte: 
C
Considera la ecuación \( x^n+b=0 \), donde \( n \) es un número natural y \( b \) es un número complejo. En la imagen, los puntos que corresponden a las raíces de la ecuación se representan en negro. Determina la ecuación.
\( x^3 + 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 + 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 - 4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)
\( x^3 - 4\sqrt2 +4\sqrt2\mathrm{i} = 0 \)

2010013406

Parte: 
C
Halla todas las soluciones de la siguiente ecuación en el conjunto de los números complejos. \[ x^{3} + 8\mathrm{i} = 0 \]
\(\left\{2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ 2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)

2010013407

Parte: 
C
Dos soluciones de la ecuación \[ x^{3} + 1 - \mathrm{i} = 0 \] son \[ \begin{aligned}x_{1}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {4} \right ),& \\x_{2}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{11} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11} {12}\pi \right ). \\ \end{aligned} \] Calcula la tercera solución.
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{7} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13} {12}\pi \right )\)

2010013408

Parte: 
C
Tres soluciones de la ecuación \[ x^{4} - 2\mathrm{i} = 0 \] son \[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right ),\\ x_{2} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\] Calcula la cuarta solución.
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{13}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right )\)